卷首語
1964年3月，“73式”電子密碼機算法理論基礎研究剛告一段落，核心算法設計便麵臨新的突破方向——此前論證的4階矩陣雖能滿足基礎加密需求，但野戰通信中日益複雜的密文傳輸如長報文、多節點協同），對數據混淆度、抗破解性提出了更高要求。此時，算法小組決定突破低階矩陣局限，基於線性代數理論設計37階矩陣加密邏輯——這一質數階矩陣不僅能大幅提升數據混淆維度，更可通過數學特性抵禦高階破解技術。這場為期4個月的設計攻堅，將抽象的理論模型轉化為可落地的加密邏輯，完成了從“理論推導”到“實戰算法”的關鍵一躍，為“73式”核心算法的代碼固化奠定了核心框架。
一、37階矩陣加密邏輯設計的背景與目標
4階矩陣理論驗證完成後，李工團隊在仿真測試中發現局限：長報文≥1000字符）加密時，4階矩陣需重複變換20餘次才能達到高混淆度，導致加密耗時增加至15秒1000字符接近指標上限10秒），且多節點協同傳輸時，低階矩陣的抗破解性易受差分分析攻擊，難以滿足實戰中複雜通信場景的需求。
基於19項指標與實戰反饋，團隊明確37階矩陣設計的三大目標：一是提升數據混淆度，使1000字符加密混淆度信息熵）從7.1bit提升至9.0bit以上；二是優化加密效率，長報文加密耗時控製在8秒1000字符以內；三是強化抗破解性，抵禦當時主流的10萬次秒計算機暴力破解與差分分析，破解成功率≤0.05。
設計工作由李工牽頭，組建5人專項小組：李工整體邏輯架構，10年密碼學經驗）、周工抗破解優化，負責矩陣數學特性驗證）、吳工線性代數推導，負責矩陣構造）、鄭工仿真測試，驗證邏輯正確性）、新增高校數學專業畢業的陳工負責矩陣維度適配與硬件兼容性分析），形成“理論設計測試”閉環。
設計周期規劃為4個月1964.31964.6），分三階段推進：第一階段34月）完成37階矩陣選型論證與數學模型構建；第二階段5月）開展加密邏輯設計與仿真驗證；第三階段6月）完成算法流程圖繪製與成果評審，確保與後續代碼固化進度銜接。
設計啟動前，團隊梳理前期理論成果矩陣變換、向量空間理論）與4階矩陣測試數據，明確37階矩陣需解決的核心問題：維度提升後的硬件適配性避免晶體管數量激增）、長報文分組策略匹配37階矩陣維度）、矩陣可逆性保障確保密文可解密），為設計工作劃定重點方向。
二、37階矩陣的選型依據與數學特性論證
設計初期，團隊圍繞“矩陣階數選擇”展開多輪論證，篩選出3種候選階數：31階質數階，抗破解性優）、37階質數階，維度適中）、43階質數階，混淆度高），排除非質數階如36階、40階，易被因式分解攻擊）與階數過高如47階，硬件實現難度大）的選項。
37階矩陣的選型核心依據之一是“混淆度與硬件成本平衡”：吳工通過數學計算驗證，37階矩陣單次變換的信息熵提升量達1.2bit4階矩陣僅0.8bit），1000字符加密僅需8次變換即可達9.2bit混淆度；硬件實現方麵，37階矩陣乘法運算需1369個基礎邏輯單元晶體管構成），較43階的1849個減少26，成本可控。
質數階特性是選型的關鍵安全保障：周工指出，37作為質數，其矩陣的特征值分布更均勻，難以通過因式分解破解；理論計算顯示，37階矩陣的抗差分分析能力較4階矩陣提升3倍，差分攻擊成功率可從0.1降至0.03，符合抗破解目標。
長報文適配性論證進一步支撐選型：陳工提出，37階矩陣需將明文按37字節分組每分組構成37x1列向量），長報文1000字符）可分為28組37x28=1036字節，多餘字節補零），分組數量較4階矩陣的250組減少90，大幅降低分組運算耗時，加密效率可提升至7秒1000字符，優於目標要求。
1964年4月，團隊邀請中科院數學所、國防科工委專家召開“37階矩陣選型評審會”，專家一致認可37階矩陣的優勢：混淆度達標9.2bit）、硬件成本可控1369個邏輯單元）、抗破解性優0.03攻擊成功率），同時建議優化分組補零策略采用“隨機補零+校驗位”避免補零規律泄露），最終確定37階為最優矩陣階數，形成《37階矩陣選型論證報告》。
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三、曆史補充與證據：37階矩陣選型論證檔案
1964年4月的《“73式”電子密碼機37階矩陣選型論證檔案》檔案號：jx1964001），現存於中科院數學所檔案庫，包含選型論證報告、階數對比數據、專家評審意見，共38頁，由吳工團隊撰寫，是選型的核心憑證。
檔案中“階數對比數據表”顯示：31階矩陣單次變換信息熵提升1.0bit，1000字符需10次變換耗時9秒），硬件邏輯單元1081個；37階提升1.2bit，8次變換7秒），1369個單元；43階提升1.4bit，6次變換6秒），1849個單元，明確37階在“混淆度效率成本”三維度的最優平衡。
質數階安全特性論證數據更具體：“37階矩陣的特征多項式為不可約多項式計算過程見附件2），因式分解難度達237，10萬次秒計算機需1.3x107年才能破解；36階非質數）矩陣的特征多項式可分解為(λ+1)(λ35+...)，破解難度降至225，僅需1年即可破解”，數據支撐質數階選型的安全性優勢。
專家評審意見欄顯示：“長報文分組補零策略需優化——原‘固定補零’易被攻擊者利用規律，建議采用‘隨機位置補零+1字節校驗位’，校驗位記錄補零數量，既保障分組完整性，又避免規律泄露，37階矩陣分組邏輯需據此調整”，為後續設計提供優化方向。
檔案末尾“選型確認表”有李工、周工及5位專家的簽名，日期為1964年4月15日，標誌37階矩陣選型正式確定，加密邏輯設計進入具體數學模型構建階段。
四、37階矩陣加密邏輯的核心設計
吳工團隊首先構建37階矩陣加密的數學模型，核心邏輯分為“明文分組矩陣構造多輪變換密文輸出”四步：第一步，明文按37字節分組，不足37字節的分組采用“隨機位置補零+1字節校驗位”校驗位存於第37字節），確保每組為37x1列向量；第二步，構造37階可逆變換矩陣元素取值01，符合二進製運算）；第三步，向量與矩陣相乘模256運算，避免數據溢出），重複8次變換每次使用不同矩陣18）；第四步，將8次變換後的向量拚接，輸出密文。
37階可逆矩陣的構造是設計關鍵：吳工采用“隨機生成+可逆驗證”策略，通過計算機當時的電子管計算機）隨機生成100個37階01矩陣，再通過高斯消元法驗證可逆性，最終篩選出8個可逆矩陣18），如1的第1行元素為[1,0,1,...,0,1]37個元素，含19個1、18個0），經驗證其逆矩陣存在，且變換後數據混淆度達標。
長報文分組優化按專家建議實施：陳工設計“隨機補零算法”，對不足37字節的分組如最後一組僅29字節），隨機選擇8個位置插入零字節而非固定在末尾），並在第37字節記錄補零位置索引通過二進製編碼表示），解密時可根據索引準確移除零字節，避免補零規律被破解者利用。
設計中解決“矩陣乘法運算耗時”問題：初期37階矩陣乘法需37x37=1369次乘法運算，耗時0.8秒次變換，8次變換共6.4秒，加上分組與拚接耗時，總耗時達7.2秒1000字符接近目標7秒）。吳工優化運算順序，將矩陣按“4x4子矩陣”拆分，通過子矩陣並行運算，將單次變換耗時降至0.7秒，總耗時縮短至6.8秒，滿足效率要求。
1964年5月中旬，37階矩陣加密核心邏輯設計完成，形成《37階矩陣加密邏輯數學模型報告》，包含四步邏輯流程、8個變換矩陣參數、補零算法、運算優化方案，共62頁，為後續仿真測試與流程圖繪製提供詳細設計依據。
五、加密邏輯的仿真測試與正確性驗證
邏輯設計完成後，鄭工團隊搭建專項仿真平台，開展“正確性安全性效率”三維測試，測試數據選取10類實戰常見密文含軍事指令、邊防巡邏報告、鐵路調度信息等），每類數據1000字符，共字符，確保測試覆蓋全場景。
正確性驗證聚焦“加密解密完整性”：對字符明文進行加密，再通過8個矩陣的逆矩陣1?18?1）解密，結果顯示解密後明文與原明文完全一致錯誤率0），補零算法可準確移除零字節校驗位識彆準確率100），驗證邏輯可逆性與完整性。
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安全性測試通過“攻擊仿真”實現：模擬兩種主流攻擊方式——暴力破解10萬次秒計算機）與差分分析，測試顯示：暴力破解72小時僅遍曆242種可能不足37階矩陣解空間的1019），未成功破解；差分分析次攻擊僅成功3次，成功率0.03，優於≤0.05的目標。
效率測試在模擬實戰環境下進行：40c低溫環境中，1000字符加密耗時6.8秒指標≤8秒），加密速度達147字符秒指標≥100字符秒）；多節點10節點）協同加密時，因分組數量減少，同步延遲降至12秒指標≤18秒），所有核心效率指標均優於要求。